đề 2

1.  Bài 1: Có 30 đề thi trong đó có 10 đề khó, 20 đề trung bình. Tìm xác suất để: a) Một Học sinh bắt một đề gặp được đề trung bình. b) Một Học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung bình. Giải a) Gọi A là biến cố Học sinh bắt được đề trung bình: C1 20 2 P(A) = 1 = = 20 C30 30 3 b) Gọi B là biến cố học sinh bắt được 1 đề trung bình và một đề khó Gọi C là biến cố học sinh bắt được 2 đề trung bình. Gọi D là biến cố học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung bình. C1 .C1 + C2 200 + 190 P(D) = 20 102 = = 0,896 20 Khi đó: C30 435
2.  Bài 2: Có hai lớp 10A và 10 B mỗi lớp có 45 học sinh, số học sinh giỏi văn và số học sinh giỏi toán được cho trong bảng sau. Có một đoàn thanh tra. Hiệu trưởng nên mời vào lớp nào để khả năng gặp được một em giỏi ít nhất một môn là cao nhất? 10A 10B Lớp Giỏi Văn 25 25 Toán 30 30 Văn và Toán 20 10 Giải Gọi V là biến cố học sinh giỏi Văn, T là biến cố học sinh giỏi Toán. Ta có: Lớp 10A 25 30 20 7 P(V + T) = P(V) + P(T) − P(VT) = + − = 45 45 45 9 Lớp 10B: 25 30 10 P(V + T) = P(V) + P(T) − P(VT) = + − =1 45 45 45 Vậy nên chọn lớp 10B. 
3. Bài 3: Lớp có 100 Sinh viên, trong đó có 50 SV giỏi Anh Văn, 45 SV giỏi Pháp Văn, 10 SV giỏi cả hai ngoại ngữ. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tính xác suất: a) Sinh viên này giỏi ít nhất một ngoại ngữ. b) Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết. c) Sinh viên này chỉ giỏi đúng một ngoại ngữ. d) Sinh viên này chỉ giỏi duy nhất môn Anh Văn. Giải a) Gọi A là biến cố Sinh viên giỏi Anh Văn. Gọi B là biến cố Sinh viên giỏi Pháp Văn. Gọi C là biến cố Sinh viên giỏi ít nhất một ngoại ngữ. 50 45 10 P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = + − = 0,85 100 100 100 b) Gọi D là biến cố Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết. P(D) = 1 − P(C) = 1 − 0,85 = 0,15 50 45 10 c) P(AB + AB) = P(A) + P(B) − 2P(AB) = + − 2. = 0,75 100 100 100 50 10 d) P(AB) = P(A) − P(AB) = − = 0, 4 100 100 
4. Bài 4: Trong một hộp có 12 bóng đèn, trong đó có 3 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ba bóng để dùng. Tính xác suất để: a) Cả ba bóng đều hỏng. b) Cả ba bóng đều không hỏng? c) Có ít nhất một bóng không hỏng? d) Chỉ có bóng thứ hai hỏng? Giải Gọi F là biến cố mà xác suất cần tìm và Ai là biến cố bóng thứ i hỏng 321 1 a) P(F) = P ( A1A 2 A 3 ) = P ( A1 ) P ( A 2 /A1 ) P ( A 3 / A1A 2 ) = . . = 12 11 10 220 b) P(F) = P ( A1 .A 2 .A3 ) = P ( A1 ) P ( A 2 /A1 ) P ( A3 / A1 A 2 ) = 9 8 7 21 ..= 12 11 10 55 1 219 c) P(F) = 1 − P ( A1A 2 A 3 ) = 1 − = 220 220 d) P(F) = P ( A1 .A 2 .A3 ) = P ( A1 ) P ( A 2 /A1 ) P ( A3 / A1A 2 ) = 938 9 ..= 12 11 10 55 
5. Bài 5: Một sọt Cam có 10 trái trong đó có 4 trái hư. Lấy ngẫu nhiên ra ba trái. a) Tính xác suất lấy được 3 trái hư. b) Tính xác suất lấy được 1 trái hư. c) Tính xác suất lấy được ít nhất một trái hư. d) Tính xác suất lấy được nhiều nhất 2 trái hư. Giải Gọi X là số trái hư trong ba trái lấy ra. X : H ( 10,4,3)  a) P(X = 3) = = = 0,03 4 3 C10 120 C1 C6 60 2 b) P(X = 1) = 3 = = 0,5 4 C10 120 C3 c) P(X ≥ 1) = 1 − P(X < 1) = 1 − 36 = 0,83 C10 d) P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,97 
6. Bài 6: Một gia đình có 10 người con. Giả sử xác suất sinh con trai, con gái như nhau. Tính xác suất: a) Không có con trai. b) Có 5 con trai và 5 con gái. c) Số trai từ 5 đến 7. Giải  1 Gọi X là số con trai trong 10 người con. Ta có: X : B 10,   2 0 10 1 1 1 a) P(X = 0) = C     = 0 10 2 2 1024 5 5 1 1 63 b) P(X = 5) = C     = = 0,25 5 10  2   2  256 5 5 6 4 7 3 1 1 6 1 1 7 1 1 c) P(5 ≤ X ≤ 7) = C     + C10     + C10     5 10 2 2 2 2 2 2 582 = = 0,6 1024
7.  Bài 7: Trọng lượng của 1 gói đường (đóng bằng máy tự động) có phân phối chuẩn. Trong 1000 gói đường có 70 gói có trọng lượng lớn hơn 1015 g. Hãy ước lượng xem có bao nhiêu gói đường có trọng lượng ít hơn 1008 g. Biết rằng trọng lượng trung bình của 1000 gói đường là 1012 g Giải Gọi X là trọng lượng trung bình của 1 gói đường (g). X : N ( 1012g, σ2 )  1015 − 1012  P(X > 1015) = 0,07 = 0,5 − φ   σ   3 3 ⇒ φ   = 0,43 ≈ 0, 4306 ⇒ = 1,48 ( tra bảng F) σ σ 3 ⇒σ= = 2,0325 1, 48  1008 − 1012   = 0,5 − φ ( 1,97 ) = Vậy P(X < 1008) = 0,5 + φ   2,0325  = 0,5 − 0, 4756 = 0,0244 = 2,44% Do đó trong 1000 gói đường sẽ có khoảng 1000x0,0244 = 24,4 gói đường có trọng lượng ít hơn 1008 g.
8.  Bài 8: Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án năm 2000 được coi như là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Theo đánh giá của ủy ban đầu tư thì lãi suất cao hơn 20% có xác suất 0,1587, và lãi suất cao hơn 25% có xác suất là 0,0228. Vậy khả năng đầu tư mà không bị thua lỗ là bao nhiêu? Giải Gọi X là lãi suất đầu tư vào dự án. X : N ( µ, σ2 ) , µ, σ2 chưa biết.   20 − µ  P(X > 20) = 0,5 − φ  σ  = 0,1587     P(X > 25) = 0,5 − φ  25 − µ  = 0,0228    σ    20 − µ   20 − µ φ  σ  = 0,3413 = φ ( 1)  σ =1 µ = 15    ⇔ ⇔ ⇔  20 − µ = 2 σ = 5 φ  25 − µ  = 0, 4772 = φ ( 2 )  σ  σ     0 − 15   = 0,5 + φ ( 3) = 0,5 + 0,4987 = 0,9987 Để có lãi thì: P(X > 0) = 0,5 − φ  5
9.  Bài 9: Nhà máy sản xuất 100.000 sản phẩm trong đó có 30.000 sản phẩm loại 2, còn lại là sản phẩm loại 1. KCS đến kiểm tra và lấy ra 500 sản phẩm để thử. Trong 2 trường hợp chọn lặp và chọn không lặp. Hãy tính xác suất để số sản phẩm loại 2 mà KCS phát hiện ra: a) Từ 145 đến 155 b) Ít hơn 151 Giải Trường hợp chọn lặp: Gọi X là số sản phẩm loại 2 có trong 500 sản phẩm đem kiểm tra. Ta có: X : B(500;0,3) Do n = 500 khá lớn, p = 0,3 ( không quá 0 và 1) Nên ta xấp xỉ theo chuẩn: X : N(150;105)  155 − 150   145 − 150  a) P ( 145 ≤ X ≤ 155 ) = φ   − φ =  105   105  = φ ( 4,87 ) + φ ( 4,87 ) = 0,5 + 0,5 = 1  150 − 150   0 − 150  b) P ( 0 ≤ X ≤ 150 ) = φ   = 0 + φ ( 14,6 ) = 0,5  − φ  105   105  Trường hợp chọn lặp: X : H(100.000;30.000;500) X có phân phối siêu bội. Do N = 100.000 >> n = 500 nên ta xấp xỉ theo nhị thức.30.000 X : B(500;0,3) với p = = 0,3 100.000 Kết quả giống như trên.
10.  Bài 10: Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100 giờ. 1) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm, thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình là 1000 giờ. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn xí nghiệp sản xuất với độ tin cậy 95%. 2) Với độ chính xác là 15 giờ. Hãy xác định độ tin cậy. 3) Với độ chính xác là 25 giờ và độ tin cậy là 95% thì cần thử nghiệm bao nhiêu bóng? Giải Áp dụng trường hợp: n ≥ 30, σ 2 đã biết 1) n = 100, x = 1000, γ = 1 − α = 95%, σ = 100 2φ(t) = 1 − α = 95% = 0,95 ⇔ φ(t) = 0,475 nên t α = 1,96 σ 100 a1 = x − t α = 1000 − 1,96. = 980,4 n 100 σ 100 a2 = x + tα = 1000 + 1,96. = 1019,6 n 100 Vậy với độ tin cậy là 95% thì tuổi thọ trung bình của bóng đèn mà xí nghiệp sản xuất ở vào khoảng (980,4 ; 1019,6) giờ. 2) ε = 15,n = 100 15 100 = 1,5 ⇒ φ ( t α ) = φ ( 1,5 ) = 0,4332 (bảng F) tα = 100 Vậy độ tin cậy γ = 1 − α = 2φ ( t α ) = 0,8664 = 86,64% 3) ε = 25, γ = 95%, σ = 100 Do γ = 95% nên t α = 1,96  ( 1,96 ) 2 .1002   t 2 σ2   + 1 = [ 61,466] + 1 = 61 + 1 = 62 n =  2  +1=  α ε 252        
11. Bài 11: Trọng lượng các bao bột mì tại một cửa hàng lương thực là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Kiểm tra 20 bao, thấy trọng lượng trung bình của mỗi bao bột mì là: 48 kg, và phương sai mẫu điều chỉnh là s 2 = ( 0,5kg ) . 2 1) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trọng lượng trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng. 2) Với độ chính xác 0,26 kg, xác định độ tin cậy. 3) Với độ chính xác 160 g, độ tin cậy là 95% . Tính cở mẫu n? Giải 1) Áp dụng trường hợp: n < 30, σ 2 chưa biết n = 20, x = 48, γ = 95%,s = 0,5 γ = 0,95 ⇒ t19 = 2,093 (tra bảng H) α s 0,5 a1 = x − t n −1 = 48 − 2,093. = 47,766 n 20 α s 0,5 a 2 = x + t n −1 = 48 − 2,093. = 48,234 n 20 α Vậy với độ tin cậy là 95%, trọng lượng trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng (47,766; 48,234) kg 2) ε = 0, 26, n = 20 0,26 20 t n −1 = = 2,325 ≈ 2,3457 0,5 α Tra bảng H ⇒ γ = 97% Vậy với độ chính xác 0,26 kg thì độ tin cậy là 97% 3) ε = 0,16 kg, γ = 95% ⇒ t α = 1,96 Do γ = 95% nên t α = 1,96  ( 1,96 ) 2 .( 0,5 ) 2   t 2 s2   + 1 = [ 37,51] + 1 = 37 + 1 = 38 n =  α 2  +1 =   ( 0,16 ) ε  2     
12.  Bài 12: Để ước lượng tỉ lệ sản phẩm xấu của một kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu. 1) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp với độ tin cậy 94%. 2) Với sai số cho phép ε = 3% , hãy xác định độ tin cậy. Giải 11 Ta có: n = 100, f = = 0,11 100 1) Áp dụng công thức ước lượng tỷ lệ: γ = 94% = 0,94 ⇒ t α = 1,8808 (tra bảng G) 0,11( 1 − 0,11) p1 = 0,11 − 1,8808 = 0,051 100 0,11( 1 − 0,11) p 2 = 0,11 + 1,8808 = 0,169 100 Với độ tin cậy 94%, tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp vào khoảng (0,051; 0,169) ⇒ 5,1% < p < 16,9% 2) ε = 3% = 0,03 εn 0,03 100 tα = = = 0,96 0,11( 1 − 0,11) f (1 − f ) φ ( 0,96 ) = 0,3315 ⇒ γ = 2φ ( t α ) = 2.0,3315 = 0,663 = 66,3%
13.  Bài 13:Giám đốc một xí nghiệp cho biết lương trung bình của một công nhân thuộc xí nghiệp là 380 nghìn đồng/ tháng. Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân thấy lương trung bình là 350 nghìn đồng/ tháng, với độ lệch chuẩn σ = 40 nghìn. Lời báo cáo của giám đốc có tin cậy được không, với mức ý nghĩa là 5%. Giải Giả thiết: H0: a = 380; H1 : a ≠ 380 A là tiền lương trung bình thực sự của công nhân. a0 = 380: là tiền lương trung bình của công nhân theo lời giám đốc. x = 350, n = 36 > 30, σ = 40, α = 5% Do α = 5% ⇒ γ = 1 − α = 0,95 ⇒ t α = 1,96 x − a0 n 350 − 380 36 = 4,5 > 1,96 . Bác bỏ H0 Ta có: t = = σ 40 Kết luận: với mức ý nghĩa là 5% không tin vào lời giám đốc. Lương trung bình thực sự của công nhân nhỏ hơn 380 nghìn đồng/ tháng. 
14. Bài 14: Một cửa hàng thực phẩm nhận thấy thời gian vừa qua trung bình một khách hàng mua 25 nghìn đồng thực phẩm trong ngày. Nay cửa hàng chọn ngẫu nhiên 15 khách hàng thấy trung bình một khách hàng mua 24 nghìn đồng trong ngày và phương sai mẫu điều chỉnh là s2 = (2 nghìn đồng)2. Với mức ý nghĩa là 5% , thử xem có phải sức mua của khách hàng hiện nay thực sự giảm sút. Giải Giả thiết: H0: a=25 a là sức mua của khách hàng hiện nay. a0 = 25 là sức mua của khách hàng trước đây. n = 15, x = 24,s = 2, α = 5% n −1 Do α = 5% ⇒ γ = 0,95 ⇒ t α = t 0,05 = 2,1448 ( tra bảng H) 14 x − a0 n 24 − 25 15 = 1,9364 < t α−1 t= = n s 2  Vậy ta chấp nhận H0 Kết luận: Với mức ý nghĩa là 5%, sức mua của khách hàng hiện nay không giảm sút.
15.  Bài 15: Theo một nguồn tin thì tỉ lệ hộ dân thích xem dân ca trên tivi là 80%. Thăm dò 36 hộ dân thấy có 25 hộ thích xem dân ca. Với mức ý nghĩa là 5%, kiểm định xem nguồn tin này có đáng tin cậy không? Giải p ≠ 0,8 Giả thiết H0: p = 0,8, H1: p là tỷ lệ hộ dân thực sự thích xem dân ca. p0 = 0,8 là tỷ lệ hộ dân thích xem dân ca theo nguồn tin. 25 n = 36; f = = 0,69; α = 5% 36 α = 5% ⇒ γ = 0,95 ⇒ t α = 1,96 f − p0 0,69 − 0,8 36 n t= = = 1,65 < t α = 1,96 p0q 0 0, 2.0,8 Chấp nhận H0. Kết luận: Với mức ý nghĩa là 5%, nguồn tin này là đáng tin cậy. 10

đề 1

CÁC DẠNG TOÁN VỀ XÁC SUẤT PHỔ THÔNG.

I/ Kiến thức cơ bản.

1/ Phép thử ngẩu nhiên: là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

2/ Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử .Kí hiệu là .Ta chỉ xét các phép thử với là tập hữu hạn.

3/ Biến cố A  là tập con của không gian mẫu .Tập Ø gọi là biến cố không thể, Tập  gọi là biến cố chắc chắn.

4/Nếu khi phép thử tiến hành mà kết quả của nó là một phần tử của A thì ta nói rằng A xảy ra,hay phép thử là thuận lợi cho A.

5/Biến cố \ A được gọi là biến cố đối của A.

6/ A và B đối nhau

7/A xảy ra  không xảy ra.

VD: Gọi  biến cố C:” Lấy 2 quả cùng màu” thì   là biến cố :”Lấy hai quả khác màu”

VD: Gọi biến cố A :” Lấy được ít nhất một quả cầu màu trắng ”

nên  là biến cố :”Không lấy được quả cầu màu trắng nào ”.

8/ Biến cố xảy ra  A hoặc B xảy ra.

9/ Biến cố xảy ra  A và B cùng xảy ra.

10/ Nếu  Ø thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc.

11/ Định nghĩa xác suất.

Kí hiệu n(A) là số phần tử của biến cố A liên quan đến phép thử với không gian mẫu  còn n( ) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử ,thì tỉ số  gọi là xác suất của biến cố A, Kí hiệu là P(A).

12/Tính chất của xác suất.

+ P(Ø) = 0;  P( ) = 1;   với mọi biến cố A.

+ Nếu A và B xung khắc thì .

+ Với mọi biến cố A thì ta có .

+ Mở rộng : Với hai biến cố A và B bất kì cùng liên quan đến phép thử thì :

13/Biến cố độc lập.

Định nghĩa: Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu sự xảy ra của một trong hai biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

14/ Tính chất của biến cố độc lập.

+ A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi

+ A và B độc lập  và B độc lập  và A độc lập  và  độc lập.

II/ Các dạng bài tập.

DẠNG 1/  XẾP CHỖ NGỒI VÀ CHỌN NGƯỜI.

Bài 1: Xếp ngẫu nhiên 5 người vào một cái bàn có 5 chỗ ngồi.Tính xác suất để

a/ A và B ngồi đầu bàn.

b/ A và B ngồi cạnh nhau ở bàn dài.

c/ A và B ngồi cạnh nhau ở bàn tròn.

 Giải 1.

a/  A và B ngồi đầu bàn chỉ có ở dạng bàn dài.

Xếp 5 người vào bàn 5 chỗ là một hoán vị của 5 phần tử nên 5! = 120

Gọi biến cố M là:” Xếp 5 người trong đó A và B ngồi đầu bàn” có 2 giai đoạn:

+ Xếp A, B ngồi đầu bàn có 2 cách.

+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ có 3! cách

Nên   n (M) = 2.3!

Vậy   P (M) =

b/Gọi biến cố M: “ Xếp 5 người vào bàn dài trong đó A và B ngồi cạnh nhau” có hai giai đoạn.

+ Buộc A vào B có hai cách là AB;BA

+ Xếp 4 người trong đó có một người đôi ( AB hoặc BA) vào 4 chỗ có 4! cách

Nên   n (M) = 2.4! cách.

Vậy   P (M) =

c/ Cách 1: Bàn tròn có dánh số chỗ ngồi.

Xếp 5 người vào 5 chỗ nên 5!

Gọi biến cố M là: ”Xếp 5 người vào bàn tròn trong đó A và B ngồi cạnh nhau” có ba giai đoạn.

+ Xếp A vào bàn trước có 5 cách.

+ Xếp B cạnh A có 2 cách.

+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ còn lại có 3! Cách.

Nên   n (M) = 5.2.3! cách.

Vậy    P (M) =

Cách 2: Bàn tròn không đánh số chỗ ngồi.

Xếp 5 người vào bàn tròn không đánh số chỗ ngồi để A,B ngồi cạnh nhau có 2 giai đoạn.

+ Xếp A vào bàn có 1 cách.

+ Xếp 4 người còn lại vào 4 chỗ còn lại có 4! cách.

 Nên  1.4! = 24.

Gọi biến cố M: “ Xếp 5 người vào bàn tròn trong đó A và B ngồi cạnh nhau” có 3 giai đoạn.

+ Xếp A vào 1 chỗ có 1 cách.

+ xếp B cạnh A có 2 cách.

+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ còn lại có 3! cách.

Nên   n (M) = 1.2.3! = 12

Vậy   P (M) =

Bài 2/

Xếp ngẫu nhiên 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi vào 6 ghế kê theo hàng ngang.Tìm xác suất sao cho :

            a/Namnữ ngồi xen kẽ nhau.(ĐS: 0.1)

            b/ Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.(ĐS:0.2)

Bài 3/

Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau.Tính xác suất sao cho:

            a/Nam,nữ ngồi đối diện nhau.(ĐS:2/3)

            b/Nữ ngồi dối diện nhau.(ĐS: 1/3)

Bài 4/ Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người .Tìm xác suất sao cho trong hai người đó:

            a/ Cả hai đều là nữ.(ĐS:1/15)

            b/ Không có nữ nào.(ĐS: 7/15)

            c/ Ít nhất một người là nữ.(ĐS: 8/15)

            d/ Có đúng một người là nữ.(ĐS: 7/15)

Bài 5/ Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh một bàn tròn . Tính xác suất sao cho nam, nữ ngồi xen kẽ nhau. (ĐS: 0,008)

Bài 6/ Xếp ngẫu nhiên 3 người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé vào ngồi 6 cái ghế xếp thành hang ngang. Tính xác suất sao cho.

            a/ Đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà.

            b/ Đứa bé ngồi giữa hai người đàn ông.

Giải 6/

Xếp 6 người vào 6 cái ghế nên số cách xếp là một hoán vị của 6.Do đó

a/ Gọi biến cố A:”Đứa bé được xếp giữa hai người đàn bà” Ta xếp như sau:

+ Xếp đứa bé ngồi vào ghế thứ 2 đến ghế thứ 5 nên có 4 cách xếp.

+ Ứng với mỗi cách xếp đứa bé thì có 2 cách xếp hai người đàn bà ngồi hai bên.

+ Còn ba chỗ còn lại xếp ba người đàn ông thì có 3! Cách xếp

Theo quy tắc nhân ta có 4.2.3! = 48

Vậy

b/ Gọi biến cố B:”Đứa bé được xếp giữa hai người đàn ông”.Ta xếp như sau:

+ Xếp đứa bé ngồi vào ghế thứ 2 đến ghế thứ 5 nên có 4 cách xếp.

+ Chọn 2 trong số 3 người đàn ông.Có cách.

+ Ứng với mỗi cách xếp đứa bé thì có 2 cách xếp hai người đàn ông ngồi hai bên.

+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ còn lại. Có 3! Cách.

Theo quy tắc nhân ta có n(B) = 4.3.2.3!= 144

Vậy

Bài 7/ Cũng hỏi như bài 6 nhưng 6 ghế  được xếp quanh bàn tròn.(ĐS:a/ 1/10 b/3/10)

Bài 8/ Có bao nhiêu cách xếp 7 người vào 2 dãy ghế sao cho dãy ghế đầu có 4 người và dãy ghế sau có 3 người.

Giải 8/ Chọn 4 người trong 7 người để xếp vào 4 ghế ở dãy đầu. Có  cách.

Còn lại 3 người xếp vào dãy sau thì có 3! Cách. Vậy có tất cả .3! = 5040 cách xếp.

DẠNG 2/CHỌN QUẢ CẦU.

Bài 1/ Có hai hộp chứa các quả cầu .Hộp thứ nhất chứa 6 quả trắng,4 quả đen.

Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen.Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả.

Gọi A là biến cố :” Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng”.và B là biến cố:”Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”.

            a/Xét xem A và B có độc lập không.(ĐS: Độc lập)

            b/Tính xác suất sao cho hai quả lấy ra cùng màu.(ĐS:12/25)

            c/ Tính xác suất sao cho hai quả lấy ra khác màu.(ĐS:13/25)

Bài 2/ Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen,lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả.Tính xác suất sao cho :

            a/Bốn quả lấy ra cùng màu.(ĐS: 8/105)

            b/Có ít nhất một quả màu trắng.(ĐS:209/210)

Bài 3/ Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đên 10. 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đên 20. Lấy ngẫu nhiên 1 quả.Tìm xác suất sao cho quả được chọn:

            a/ Ghi số chẵn.(ĐS: 1/2)

            b/ Màu đỏ.(ĐS: 1/3)

            c/ Màu đỏ và ghi số chẵn.(ĐS: 1/6)

            d/ Màu xanh hoặc ghi số lẻ.(ĐS: 5/6)

Bài 4/Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10, đồng thời các quả từ 1 đến 6 được sơn màu đỏ.Lấy ngẫu nhiên một quả. Gọi A là biến cố: “ Quả lấy ra màu đỏ” B là biến cố :” Quả lấy ra ghi số chẵn” Hỏi A và B có độc lập không.(ĐS:Độc lập)

Bài 5/ Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho:

            a/ Cả 2 quả đều đỏ.

            b/ Hai quả cùng màu.

            c/ Hai quả khác màu.

Giải 5: Gọi biến cố A:”Lấy 1 quả ở hộp thứ nhất màu đỏ”.Biến cố B:” Lấy 1 quả ở hộp thứ hai màu đỏ”.Ta có A và B là hai biến cố độc lập.

            a/ Lấy cả hai quả màu đỏ là biến cố

Ta có  mà P(A) = 3/5 và P(B) = 4/10 = 2/5 nên  

            b/ Gọi biến cố C:” Lấy 2 quả cùng màu” nên

Do tính xung khắc và độc lập của các biến cố, ta có

Nên P( C) =

            c/ Do biến cố C:” Lấy 2 quả cùng màu” nên  là biến cố :”Lấy hai quả khác màu” mà = 1 – 0,48 = 0,52.

Bài 6/ Một hộp đựng 4 bi xanh,3 bi đỏ, 2 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 bi.

a/ Tính xác suất để chọn được 2 bi cùng màu.

b/ Tính xác suất để chọn được 2 bi khác màu.

Giải 6/

a/Gọi A là biến cố:”Chọn được 2 viên bi xanh”.B là biến cố :”Chọn được 2 viên bi đỏ”.C là biến cố:”Chọn được 2 viên bi vàng”

và H là biến cố:”Chọn được 2 viên bi cùng màu”

Ta có  và các biến cố A,B,C đôi một xung khắc do đó

Mà  nên P(H) = 5/18.

b/ Gọi D là biến cố:”Chọn được 1 viên bi xanh và 1 bi đỏ”.E là biến cố :”Chọn được 1 viên bi xanh và 1 bi vàng”.Flà biến cố:”Chọn được 1 viên bi vàng và 1 bi đỏ”và G là biến cố chọn được 2 viên bi khác màu.

Ta có: 

Nên

Cách khác: Do biến cố H:” Chọn 2 quả cùng màu” nên  là biến cố :”Lấy hai quả khác màu” mà = 1 – 5/18 = 13/18.

DẠNG 3/GIEO SÚC SẮC VÀ ĐỒNG XU.

Bài 1/ Một con súc sắc cân đối và đông chất được gieo 2 lần. Tính xác suất sao cho:

            a/Tổng số chấm của hai lần gieo là 6.(ĐS: 5/36)

            b/ It nhất một lần gieo xuất hiện mặt một chấm.(ĐS:11/36)

Bài 2/ Gieo 3 đồng xu cân đối và đồng chất một cách độc lập.Tính xác suất để

            a/ Cả 3 đồng xu đều sấp.

            b/Có ít nhất một đồng xu sấp.

            c/Có đúng một đồng xu sấp.

Giải 2/ a/Không gian mẫu :

Gọi A là biến cố để cả 3 đồng xu đều sấp nên n(A) = 1Vậy P(A) = 1/8

            b/ Gọi B là biến cố có ít nhất một đồng xu sấp nên n(B) = 7Vậy P(B) = 7/8.

            c/ Gọi C là biến cố có đúng một đồng xu sấp nên n( C ) = 3 vậy P( C )= 3/8

Bài 3/ Gieo 2 đồng xu A và B.Đồn xu A chế tạo cân đối,đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa.Tính xác suất để

            a/ Khi gieo 2 đồng xu một lần thì 2 đồng xu đều ngửa.

            b/Khi gieo 2 đồng xu 2 lần thì 2 lần cả 2 đồng xu đều ngửa.

Giải 3/

 a/ Xác suất xuất hiện mặt sấp và mặt ngửa của đồng xu A bằng nhau và bằng ½

Ở đồng xu B thì xác suất xuất hiện mặt sấp bằng 3/4 và xác suất xuất hiện mặt ngửa là ¼. Nên xác suất để cả 2 đồng xu đều ngửa là 1/2 .1/4= 1/8

b/ Xác suất Khi gieo 2 đồng xu 2 lần thì 2 lần cả 2 đồng xu đều ngửa là 1/8.1/8 = 1/64

Bài 4/ Gieo 6 đồng xu cân đối. Tính xác suất để có ít nhât một đồng xu sấp.

Giải 4/

Xác suất để cả 6 đồng xu đều ngửa là nên xác suất để có ít nhất một đồng xu sấp là .

Bài 5/

 Gieo 2 con xúc sắc cân đối.Tính xác suất để được ít nhất một mặt xuất hiện là mặt 6 chấm   (ĐS: 11/36)

Bài 6/

Gieo 3 con xúc sắc cân đối.Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên các mặt của 3 xúc sắc đó bằng nhau    (ĐS: 1/36)

Bài 7/ Gieo 2 con xúc sắc cân đối.Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của 2  xúc sắc đó không vượt quá 5.   (ĐS: 5/18)

DẠNG 4/ RÚT LÁ BÀI.

Bài 1/ Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con,rút ngẫu nhiên cùng một lúc 4 con. Tính xác suất sao cho:

            a/Cả 4 con đều là át. .(ĐS: 0.000 0037)

            b/Được ít nhất một con át. .(ĐS: 0.28123)

            c/ Được hai con át và 2 con K.(ĐS: 0.000133)

Bài 2/ Tính xác suất sao cho trong 13 con bài tú lơ khơ được chia ngẫu nhiên cho bạn Bình có 4 con bích, 3 con rô, 3 con cơ,và 3 con chuồn.

Giải 2:

Rút 13 lá bài từ 52 lá nên số cách rút là:

Gọi biến cố A:” Trong 13 con bài tú lơ khơ được chia ngẫu nhiên cho bạn Bình có 4 con bích, 3 con rô, 3 con cơ,và 3 con chuồn.” nên n(A) =

Vậy .

Bài 3/ Ba quân bài rút từ 13 quân cùng chất rô( 2,3,4..10,J,Q,K,A)

            a/ Tính xác suất để trong 3 quân bài đó không có Q và K.

            b/ Tính xác suất để trong 3 quân bài đó có Q hoặc K hoặc cả hai.

            c/ Tính xác suất trong 3 quân bài đó để rút được cả Q và K.

Bài 4/ Từ một cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con,lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại từng con cho đến khi lần đầu tiên lấy được con át thì dừng,Tính xác suất sao cho

            a/ Quá trình lấy dừng lại ở lần thứ hai.

            b/ Quá trình lấy dừng lại sau khi lấy không quá hai lần.

Giải.a/ Gọi A_k là lần thứ k lấy được con át, ,A₁, A₂ độc lập

            a/ Ta cần tính

                                  

            b/ Ta cần tính .

 DẠNG 5/ BẮN VÀO BIA.

Bài 1/ Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2. Tính xác suất để trong 3 lần bắn độc lập:

            a/ Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần.

            b/ Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần.

Giải 1:

a/ Xác suất bắn trúng hồng tâm là 0,2 nên xác suất bắn không trúng là 1- 0,2 = 0,8

Trong 3 lần bắn độc lập

Xác suất để chỉ lần thứ nhất bắn trúng hồng tâm là 0,2.0,8.0,8 = 0,128

Tương tự chỉ lần thứ 2 hoặc lần thứ 3 bắn trúng cũng là 0,128

Vậy xác suất bắn trúng hồng tâm đúng 1 lần là: 3. 0,128 = 0,384

b/ Xác suất để 3 lần bắn không trúng hồng tâm là 0,8.0,8.0,8 = 0,512

nên xác suất ít nhất một lần bắn trúng hồng tâm là: 1 – 0,512 = 0,488.

Bài 2/ Ba người cùng bắn vào 1 bia. Xác suất để người thứ nhất , người thứ hai, người thứ 3 bắn trúng đích lần lượt là 0,8; 0,6; 0,5

            a/ Tìm xác suất để cả 3 người cùng bắn trúng đích.

            b/ Tìm xác suất để có it nhất 1 người bắn trúng đích.

            c/ Tìm xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích.

Giải 2: a/ Xác suất để cả 3 người cùng bắn trúng đích là P = 0,8.0,6.0,5 = 0,24

b/ Xác suất để cả 3 người  bắn không trúng đích là 0,2.0,4.0,5 = 0,04

    Xác suất để có ít nhất 1 người  bắn trúng đích: 1 – 0,04 = 0,96

c/ Xác suất để có đúng 2 người cùng bắn trúng đích là :

0,8.0,6.0,5 + 0.2.0,6.0,5 + 0,8.0,4.0,5 = 0.46

CÁC DẠNG KHÁC:

Bài 1/Một người chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 4 đôi giày cỡ khác nhau.Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.

Bài 2/Cho A và B là 2 biến cố độc lập,P(A) = 0,6, P(B) = 0,3 Tính

            a/ .

            b/

Giải 2/a/Ta có

=0,6 + 0,3 – 0,6.0,3 = 0,72.

            b/Do A và B độc lập nên  độc lập.

               = 1 – P(A).P(B)

               = 1- 0,18 = 0,82.

Bài 3/ Một vé số có 4 chữ số.Nếu vé bạn mua có số trùng hoàn toàn với kết quả thì bạn trúng giải nhất. Nếu vé bạn mua có đúng 3 chữ số trùng với kết quả (kể cả vị trí) thì bạn trúng giải nhì.Bạn An mua một vé số.

            a/ Tính xác suất để An trúng giải nhất.(ĐS: 1/10000)

            b/ Tính xác suất để An trúng giải nhì.(ĐS:36/10000)

III/ Lời kết.

Các bài tập xác suất rất đa dạng và phong phú. Trên đây là một số kiến thức cơ bản của xác suất phổ thông và một số bài toán thường gặp trong xác suất đã được sắp xếp theo các dạng toán nhằm giúp học sinh dễ nhớ khi học và ôn tập.

                                                                                                Huế,ngày 10/3/2013

                                                                                                Giáo viên: Hồ Thị Nga.

NCHĐM 20

Lễ mừng năm mới trăm nghiệp tạm dừng, chính vụ của hoàng đế cũng không ngoại lệ. Ngày ấy yến hội qua đi, hoàng đế cùng Lan phi đối đôi song sinh tử Sương Tuyết này rất có hảo cảm, ba ngày hai lần chiêu gọi tiến cung. Thù Nam vẫn là có chút lo lắng liền đi theo, cũng may hắn vốn được sủng ái, lúc nào cũng có thể thuận thuận lợi lợi đi theo.

Sương Tuyết hai người diện mạo mặc dù như chiếu kính, nhưng chung quy là bất đồng, ở chung một thời gian  dài có thể phát giác Tuyết rất thích cười, thấy ai cũng tỏ ra thân thiết, cũng không sợ người lạ; Sương vừa lúc   tương phản với  Tuyết, hắn lễ nghi nghiêm chỉnh, nhưng với người không thân thiết thì không có ý thân thiện. Vì thế về sau hoàng đế cùng Lan phi chiêu hai người tiến cung, chủ yếu là muốn cùng Tuyết thân cận, đối Sương ngược lại không yêu thích như lúc ở bữa tiệc.

Hôm đó Sương Tuyết hai người lại bị chiêu tiến cung. Tổng quản thái giám trong cung yêu cầu nhóm tiểu thái giám chia làm hai tổ, mang giày trượt băng đặc chế  dùng biển côn chơi bóng trên mặt hồ. Tuyết chưa từng gặp qua loại thi đấu thể thao như thế này nên thấy rất nôn nóng phấn khích, đòi ầm lên cũng muốn xuống sân chơi thử, Thù Nam cười hắn lần trước vẫn chưa học được cách đi trên mặt băng, Tuyết lúc này mới nhớ ra lần trước luyện mấy ngày còn đứng không xong, mặt nóng bừng lên, phát cáu nói: “Biểu ca ngươi cần gì phải nhắc nhở ta a?” Mọi người liền cười rộ lên.

Thù Nam cười, ánh mắt bất giác chuyển sang người Sương, chỉ thấy Sương cũng cười yếu ớt , toàn thân trên dưới nhất phái quý khí, ung dung tao nhã, nào có bộ dáng bỉ ổi bình thường cố ý chọc giận mình? Nghĩ đi nghĩ lại cả trăm ngàn lần.

Đã nhiều ngày nay hắn bất giác nhung nhớ Sương. Thù Nam ngỡ ngàng nhận ra, thời gian hắn nghĩ đến Sương tựa hồ còn nhiều hơn so với thời gian nghĩ đến Tuyết, trong lòng kinh ngạc.

Hắn phát giác, chỉ cần Sương không cố tình làm ra bộ dáng thấp kém, không cố ý nói hành nói tỏi, mà giống như Tuyết làm cho người ta yêu mến, thậm chí ở  một thời điểm nào đó càng làm say lòng người hơn cả Tuyết.

Ở kinh lý đã hơn nửa tháng, Thù Nam ban đêm không ít lần cưỡng bức hắn, mỗi lần thấy hắn vừa muốn nói ra những lời khiến người ta chán ghét hôn hắn, dùng một chút thủ pháp làm cho hắn không cách nào nói chuyện. Sau này Sương phát hiện, cũng không muốn tự mình chuốc lấy cực khổ, rõ ràng câm miệng theo hắn.

Sương trên giường trở nên rất đáng yêu , bình thường Sương cũng như thế. Có lẽ là nhận ra thái độ mình cố ý bày ra đã lừa được Thù Nam, Sương ngay cả ở trong chiếu vương phủ cũng không làm ra vẻ , rõ ràng thân thể gầy yếu đó lại có một cỗ ào ào anh khí, đến nỗi mấy tiểu cô nương mới vừa tiến cung, chưa từng thấy qua bộ dạng Sương trước kia đối đãi hạ nhân không tốt , một đám liền trộm ngó dò xét  hắn.

Hôm nay hoàng đế xem được một nửa liền mệt mỏi, về tẩm cung nghỉ ngơi trước, Lan phi cùng Tuyết trò chuyện rất vui vẻ, không biết như thế nào liền hỏi tới  chuyện hôn sự của Sương Tuyết.

“Sương cùng tuyết hai người,còn không chịu lập phi đi?” Lan phi từ ái cười nói.

Thù Nam hiểu ý tứ của Lan phi. Lan phi vốn có một trai hai gái, đáng tiếc hoàng tử nàng đẻ ra chết sớm, hai cô công chúa cũng đã xuất giá, trước mắt bốn người có quyền thế tối cao có thể tiếp chưởng ngôi vị hoàng đều không cùng nàng có huyết thống. Năm ngoái nàng cũng đã từng muốn gả cháu gái cho hắn, bị hắn lấy lý do hai người tuổi kém quá lớn mà từ chối, hiện tại lại nhắc đến việc này, tám phần là muốn đẩy cô nương kia cho Tuyết.

Lan phi biết Sương Tuyết cùng với hắn có giao tình, động tác này chính là cực kỳ tốt muốn nhắm vào hắn, đáng tiếc đã có một bàn tay vỗ lên đùi .

Sương không nói chuyện, thần sắc trấn tĩnh như thường; Tuyết hơi đỏ mặt, ánh mắt dò xét hướng Thù Nam nói: “Biểu ca cũng còn chưa có lập phi a.”

“Biểu ca các ngươi tuy rằng chưa lập phi, nhưng hẳn cũng có hai, ba thị thiếp , các ngươi thì sao? Có yêu thích cô nương nào chưa?” Lan phi nói.

“Ta. . . . . . Còn sớm mà!” Tuyết ánh mắt hướng Thù Nam có chút bối rối, chính là muốn cầu cứu hắn rồi.

Thù Nam biết ý tứ, liền nói với Lan phi: “Nương nương, người xem Tuyết tính tình vẫn còn trẻ con! Việc này hoãn lại hai, ba năm cũng không muộn.”

Lan phi thấy Tuyết tác phong ngây thơ mơ mộng, đích xác còn có chút tính trẻ con, ngẫm lại cũng không sao. Nguyên tưởng rằng chuyện lần này có thể cho qua như vậy, nào ngờ Sương lại mở miệng nói: “Sương cũng có người nhớ mãi không quên.”

“U?” Lan phi ngạc nhiên, cười nói: “Nói cho bản cung nghe một chút, không chừng có thể làm chủ cho ngươi.”

Tuyết cùng Thù Nam cả kinh. Tuyết cũng không biết Sương trong lòng có cô nương yêu thích, Thù Nam vừa nghe ở ngực liền một trận cuồn cuộn, cảm thấy nói không nên lời.

“Chuyện này đã qua rất lâu , Sương ngay cả nàng hiện tại ở đâu cũng không nắm rõ.” Sương cúi đầu thở dài, thanh âm cảm khái động lòng người.

“Còn cố gắng là còn có cơ hội, bằng không nói ra rồi thì trong lòng cũng sẽ dễ chịu chút.” Lan phi khuyên nhủ.

Sương ánh mắt sâu kín, hình như có vô hạn hoài niệm.”Ta nhớ rõ người khác gọi nàng là『 Hoan Cô 』, là cháu gái của Lí thái y.”

“Lí thái y?”

“Chính là Lí thái y đã bị chết cháy khi Thái y viện xảy ra hỏa hoạn mười năm trước.” Sương bổ sung nói: “Còn nhớ rõ mới trước đây thường xuyên đến thái y viện chơi đùa, cùng Hoan Cô  rất vô tư vui vẻ , nào biết sau ngày ấy sẽ không được gặp lại nàng .”

Hai người hiếm khi được nhất đáp nhất hòa cùng nhau nói chuyện nên Lan phi nghe Sương gằn từng tiếng nấc nhắc tới năm đó hai người hai đứa trẻ vô tư vô lự, từng chữ đều đau buồn, trong lòng một trận cảm động.

“Khó có được người si tình như ngươ.” Lan phi khen ngợi hắn vài câu, lập tức sai người tức tốc đi thăm dò.

Lúc Thù Nam không nhận ra, trận bóng đã xong. Tuyết lôi kéo hắn la hét đòi đi khiêu chiến trượt băng, hắn sủng nịch cười dẫn Tuyết đi. Tuy rằng khó có được cơ hội hai người có thể quang minh chính đại gắn bó thân cận nhau, Thù Nam trong lòng lại mơ hồ cảm thấy không vui mừng như lúc trước.

Tuyết cùng thù nam đều tự mang vào đôi hài tốt nhất đi trên mặt băng, Thù Nam đứng trên mặt băng, dìu tay Tuyết làm cho hắn an toàn đứng trên mặt băng, đột nhiên ý thức được: thủ đoạn của Tuyết, tựa hồ như đã có chút thay đổi?

Tuyết chưa từng có cơ hội chơi trò này, làm ầm lên bảo Thù Nam kéo hắn đi, hai người liền ở trên mặt băng chơi tiếp.

Dõi theo họ được một tuần trà, thấy không thú vị, Lan phi liền nói mệt mỏi, phải về cung trước; Sương cũng không ở lại. Trên mặt băng chỉ còn mỗi Thù Nam cùng Tuyết, còn có một đám tiểu thái giám.

Tuyết chơi rất vui vẻ, Thù Nam lại không biết vì sao có chút nôn nóng thấp thỏm, quả muốn hồi cung hỏi Sương vừa rồi những lời đó là có ý gì?

SMH: có ai trang nào tiếng Việt dạy tạp mục lục hay thay banner này nọ cho WP ko nhỉ 

chương 21 còn chưa edit nha. em không đọc không biết mấy chương nhưng nơi phần mục lục của người ta chỉ mới tới 21 thôi à